2010/07/10

いかにして問題をとくか / G.ポリア(G.Polya) 垣内賢信 2回目



先日読み始めたいかにして問題をとくか」という本を読了しました。

どんな本かといった説明は前回のエントリで書いたので、ここではその部分は割愛し、エッセンスだけをまとめます。

問題解決プロセス

問題解決プロセスは次の4つのステップに分解することができます。
1 問題を理解する
2 計画をたてる
3 計画を実行する
4 振り返ってみる

問題の理解の仕方

目の前にある問題に対する理解を確かにするためには、次の3つを明確にすることが有効です。
  • 与えられているもの
  • 条件(押さえるべきポイント)
  • 未知のもの(ゴール)

英語版の資料

原題の書名「How to Solve It」で検索すると、英語での表現も出てきました。「問題を理解する」から「振り返ってみる」までの4つのステップを、英語では次のように呼ぶそうです。
1 Understand the Problem(Identify the goal)
2 Devise a Plan
3 Carry out the Plan
4 Look Back

そしてかなり長めにはなりますが、詳細はこちら。そのまま引用します。
1 Understand the Problem(Identify the goal)
The first step is to read the problem and make sure that you understand it clearly. Ask yourself following questions:
What are the unknowns?
What re the given quantities?
What are the given conditions?
Are there any constraints?

2 Devise a Plan
Find a connection between the given information and the unknown that will enable you to calculate the unknown. It often helps you to ask yourself explicitly: "How can I relate the given to the unknown?" If you do not see a connection immediately, the following ideas may be helpful in devising a plan.
  • Establish subgoals (divide into subproblems)
  • Try to recognize something familiar
  • Try to recognize patterns
  • Use analogy
  • Introduce something extra
  • Take cases
  • Work backward (assume the answer)
  • Indirect reasoning

3 Carry out the Plan
In step 2 a plan was devised. In carrying out that plan we have to check each stage of the plan and write the details that prove that each stage is correct. A string of equations is not enough!

4 Look Back
Be critical of your result; look for flaws in your solutions (e.g., inconsistencies or ambiguities or incorrect steps). Be your own toughest critic! Can you check the result? Checklist of checks:
  • Is there an alternate method that can yield at least a partial answer?
  • Try the same approach for some similar but simpler problem.
  • Check units (always, always, always! ).
  • If there is a numerical answer, is the order of magnitude correct or reasonable?
  • Trends. Does the answer vary as you expect if you vary one or more parameters? For example, if gravity is involved, does the answer change as expected if you vary g?
  • Check limiting cases where the answer is easy or known. Take the limit as variables or parameters reach certain values. For example, take a mass to be zero or infinite.
  • Check special cases where the answer is easy or known. This might be a special angle (0 or 45 or 90 degrees) or the case when all masses are set equal to each other.
  • Use symmetry. Does your answer reflect any symmetries of the physical situation?
  • If possible, do a simple experiment to see if your answer makes sense.

また、英語のwikipediaの「How to Solve it」のページには、次のように説明されています。
How to Solve It suggests the following steps when solving a mathematical problem:
1. First, you have to understand the problem.
2. After understanding, then make a plan.
3. Carry out the plan.
4. Look back on your work. How could it be better?
If this technique fails, Pólya advises:"If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it."Or: "If you cannot solve the proposed problem, try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem?"

(意訳)
「いかにして問題をとくか」は、数学の問題を解く際に次のステップで解くことを提案しています。
1. まずは、問題を理解しなければならない。
2. 理解できたら、計画を立てよう。
3. 計画を実行しよう。
4. やった仕事を振り返ろう。どうすればより良いものになるだろうか?
このテクニックがうまくいかない場合のアドバイスとして、ポリヤはこのように言っています。
「もし問題が解けなかったら、もうちょっと簡単で自分にも解ける問題を見つけよう。」
「出された問題が解けないなら、まずその問題に関連する別の問題を解いてみよう。元の問題よりもとっつきやすい関連問題をイメージすることができますか?」
How to Solve It - wikipedia

・・・以上です。

英語の方が、日本語訳(本書)よりもスッキリとまとめられているような気もします。

まぁいずれにせよ。直観では解決できない難しい問題を解く場合には、直観が通常辿る基本ステップをひとつずつ丁寧に踏んでいくのが有効である、というのが本書から得られる最大の学びかなと思います。

良書でした!

0 件のコメント: